%& --translate-file=cp1250pl
\documentclass[12pt,a4paper,leqno]{mwart}
\usepackage{polski}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,amsthm}
\usepackage{amscd,amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\newtheorem{tw}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{wn}{Wniosek}[section]
\newtheorem{lem}{Lemat}[section]
\newtheorem{uwaga}{Uwaga}[section]
\newtheorem{np}{Przyk�ad}[section]
\newtheorem{fakt}{Fakt}[section]
\newtheorem{problem}{Problem}[section]
\newtheorem{hip}{Hipoteza}[section]
\newtheorem{defin}{Definicja}[section]
\newtheorem{obs}{Obserwacja}[section]
\newtheorem{alg}{Algorytm}[section]

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\cS}{{\cal S}}
\newcommand{\cB}{{\cal B}}
\newcommand{\cH}{{\cal H}}
\newcommand{\cQ}{{\cal Q}}
\newcommand{\cE}{{\cal E}}\newcommand{\cN}{{\cal N}}

\begin{document}

\title{Tutaj wprowad� tytu�}

\author{
Imi� Nazwisko\\
Nazwa uniwersytetu,\\
Nazwa wydzia�u,\\
ul. ulica numer\\ 
kod pocztowy miasto,\\
{\tt adres@mejlowy}
}

\date{\today}%Tutaj mo�na wprowadzi� konkretn� dat�

\maketitle

%\begin{abstract}
{\bf Twierdzenie Cauchy'ego} �- jedno z kilku twierdze� o warto�ci �redniej w rachunku r�niczkowym.
Ma ono wa�ne zastosowania teoretyczne. Pozwala mi�dzy innymi oszacowa� b��d we wzorze
Taylora oraz uzasadni� regu�� de l'Hospitala. Twierdzenie Cauchy'ego jest uog�lnieniem
twierdzenia Lagrange'a.
%\end{abstract}

\section{Tre�� twierdzenia}\label{tresc}

Poni�sza tre�� twierdzenia zosta�a podana w oparciu o \cite{rudnicki}.

\begin{tw}[Twierdzenie Cauchy'ego]\label{Cauchy}
Je�eli dane funkcje $f$ i $g$ s�:
 \begin{itemize}
  \item ci�g�e w przedziale domkni�tym $[a,b]$,
  \item r�niczkowalne w przedziale $(a,b)$,  
 \end{itemize}
 to istnieje punkt $c$ nale��cy do przedzia�u $(a,b)$ taki, �e:
 $$ g'(c) \left[ f(b)-f(a) \right] = f'(c)\left[ g(b)-g(a) \right] $$
\end{tw}

\section{Dow�d twierdzenia}\label{dowod}

Dow�d twierdzenia \ref{Cauchy} zostanie przeprowadzony na podstawie pracy ??.

Dow�d opiera si� na rozpatrzeniu dw�ch przypadk�w:

\begin{enumerate}
 \item ??
 
 Wprowad�my oznaczenia:
 ??
 
 W tym przypadku oczywi�cie $P=0$. Ponadto korzystaj�c z twierdzenia Rolle'a:
 
 ??
 
 Wi�c dla powy�szego $c$ mamy $??$. Ko�czy to dow�d tego przypadku, gdy� istnieje $??$ takie, �e $??$.
 
 ??
 
 Zdefiniujmy teraz:
 
 ??
 
 Niech funkcja ?? b�dzie okre�lona wzorem:
 ??
 Wyka�emy, �e funkcja ?? spe�nia za�o�enia twierdzenia Rolle'a. Istotnie:
 ??

 Wobec powy�szego spe�nione jest za�o�enie ??. Na mocy twierdzenia Rolle'a:
  ??
 Zauwa�my, �e:
 ??
 
 Bior�c pod uwag�, �e ?? otrzymujemy:
  
  ??
 
 Ko�czy to dow�d twierdzenia.
 
\end{enumerate}

\section{Wniosek}\label{wniosek}

Poni�szy wniosek wynika wprost z twierdzenia ?? podanego w rozdziale \ref{tresc}, a udowodnionego w rozdziale ??.



\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{rudnicki} R. Rudnicki: \emph{Wyk�ady z analizy matematycznej.}, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001, s. 144.

\end{thebibliography}

\end{document}
