%& --translate-file=cp1250pl
\documentclass[12pt,a4paper,leqno]{mwart}
\usepackage{polski}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,amsthm}
%%%% ============  AmS LaTeX logo thanks to Marcin B.
\def\AmS{{\protect\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n}%
  A\kern-.1667em\lower.5ex\hbox{M}\kern-.125emS}}
%%%% ============Definicje otocze�
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{dfn}{Definicja}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{wns}[thm]{Lemat}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem*{fct}{Pierwsze twierdzenie o zwarto�ci}
%%%%%%%%=========== Definicje operator�w
\DeclareMathOperator{\operatop}{deg}
\DeclareMathOperator*{\operator}{deg}
%%%%%%%%===========Spos�b numerowania r�wna�
%\numberwithin{equation}{section}
%\renewcommand{\theequation}{\thesection.\Alph{equation}}
%%%%%%%============
\author{Sekcja \LaTeX{}a KNI WMiI UAM}
\title{Podstawy sk�adu formu� matematycznych wraz z elementami \AmS-\LaTeX{}a}
\date{}

\setlength{\parindent}{0pt}%likwidujemy wci�cie pierwszego wiersza w akapicie
\begin{document}
\maketitle
\newpage
\section{Odst�py w trybie matematycznym. Stopie� pisma.}
\subsection{Odst�py dodatnie}
\begin{center} \begin{tabular}{|lll|}\hline
Skr�t & przyk�ad & komenda\\\hline
 & $x x$ &\\ \hline
\verb|\,| & $x\,x$ & \verb|\thinspace|\\ \hline
\verb|\:| & $x\:x$ & \verb|\medspace|\\ \hline
\verb|\;| & $x\;x$ & \verb|\thickspace|\\ \hline
 & $x\quad x$ & \verb|\quad|\\ \hline
 & $x\qquad x$ & \verb|\qquad|\\ \hline
\end{tabular} \end{center}
\subsection{Odst�py ujemne}
\begin{center} \begin{tabular}{|lll|}\hline
Skr�t & przyk�ad & komenda\\\hline
\verb|\!| & $x\!x$ & \verb|\negthinspace|\\ \hline
 & $x\negmedspace x$ & \verb|\negmedspace|\\ \hline
 & $x\negthickspace x$ & \verb|\negthickspace|\\ \hline
\end{tabular} \end{center}
Przyk�adowe zastosowanie odst�pu ujemnego:\\
\newcommand{\lpa}{[\![}
\newcommand{\rpa}{]\!]}
Obiekt $\lpa \psi \rpa$ b�dziemy uto�samiali z interpretacj� zdania $\psi$ w j�zyku naturalnym.
\section{Stopie� pisma}
\begin{center}\begin{tabular}{|ll|} \hline
Komenda & Przyk�ad\\ \hline
\verb|\displaystyle| & ${\displaystyle f(x)=x^2+y^4}$\\ \hline
\verb|\textstyle| & ${\textstyle f(x)=x^2+y^4}$\\ \hline
\verb|\scriptstyle| & ${\scriptstyle f(x)=x^2+y^4}$\\ \hline
\verb|\scriptscriptstyle| & ${\scriptscriptstyle f(x)=x^2+y^4}$\\ \hline
\end{tabular}\end{center}

\begin{itemize}
\item $\mathrm{mathrm}$
\item $\mathsf{mathsf}$
\item $\mathtt{mathtt}$
\item $\mathit{mathit}$
\item $\mathbf{mathbf}$
\item $\mathcal{MATHCAL}$
\end{itemize}

\newpage
\section{Litery greckie. Symbole matematyczne. Akcenty}
\subsection{Litery greckie --- przyk�ady}
$\alpha,$ $\beta$, $\gamma$, $\Gamma$, $\delta$, $\Delta$, $\Theta$, $\chi$, $\theta$, $\vartheta$, $\partial$, $\aleph$, $\daleth$, $\beth$ \dots
\subsection{Litery wykorzystywane w matematyce}
$\mathbb{N}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$,\\ $\mathcal{N}$, $\mathcal{Q}$, $\mathcal{C}$,\\ $\mathfrak{N}$, $\mathfrak{R}$, $\mathfrak{C}$,\\ $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{n}$, $\mathfrak{w}$
\subsection{Akcenty}
$\acute{a}$, $\acute{A}$,\\ $\bar{b}$, $\bar{B}$,\\ $\breve{c}$, $\breve{C}$,\\ $\check{d}$, $\check{D}$,\\ $\dot{e}$, $\ddot{f}$,\\ $\grave{g}$, $\grave{G}$,\\ $\hat{h}$, $\hat{H}$, $\widehat{emp}$,\\ $\tilde{k}$, $\tilde{K}$, $\widetilde{emp}$\\ $\vec{l}$, $\vec{P}$
\subsection{Nawiasy, ograniczniki}
\verb|(  )  \{  \}  [  ]|

\begin{displaymath} 
( \quad \bigl( \quad \Bigl[ \quad \biggl\{ \quad \Biggl\{ \quad \Biggr\} \quad \biggr\} \quad \Bigr] \quad \bigr) \quad )
\end{displaymath}

\begin{equation}
\left\langle \left\{ \begin{array}{c}
l_1\\ l_2\\ l_3\\ h_0\\ h_1\\ h_2
\end{array} \right\} {\rm ,}
\left\{ \begin{array}{cl} 
l_1\;: & \forall y.({\rm \bf{student}}(y)\to h_1)\\
l_2\;: & \exists x.({\rm \bf{book}}(x)\wedge h_2)\\
l_3\;: & {\rm \bf{read}}(y,x)
\end{array} \right\} {\rm ,}
\left \{ \begin{array}{c}
l_1\leq h_0\\
l_2\leq h_0\\
l_3\leq h_1\\
l_3\leq h_2\\
\end{array} \right \}
\right\rangle 
\end{equation}

\[ \overbrace{\sup_{n\in \mathbb{N}} \Vert f_n\Vert}^{\textrm{text nad}}
\]

\begin{equation}
\underbrace{\{\,\overbrace{\mathstrut n \colon \mathbf{N}}^\mathrm{opis}
\mid
\overbrace{\mathstrut  n \neq 0 \land n \bmod 2 = 0 }^\mathrm{warunek}
\bullet
\overbrace{\mathstrut n}^\mathrm{element} \}}_\mathrm{okre�lenie\ zbioru},
\end{equation}

\newpage
\section{Wstawianie i numerowanie r�wna�.}
\begin{equation}
C^{syn \langle A,R\rangle} (\alpha) = \bigvee \left\{Val_{\langle A,R,T\rangle} (\omega)|\, \omega \textrm{ jest dowodem dla } \alpha \textrm{ w } \langle A,R,T\rangle \right\}
\end{equation}

\begin{equation*}
\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
\end{equation*}

\section{Strza�ki}
\[ \xleftarrow[\mathbb{Q}]{\alpha\to \beta\to \gamma} \qquad \xrightarrow{f\colon \mathcal{A}\to \mathcal{B}}
\]

\[ \nearrow \quad \leftarrow \quad \Leftarrow \quad \mapsto \quad \hookrightarrow \quad \nleftarrow \quad \nLeftarrow 
\]
\section{Relacje dwuargumentowe}
\[<\; <\; \leq\; \geq\; \prec\; \subset\; \vdash\; \models\; \in\; \approx  
\]

\[ \nless\; \nleq\; \nvdash\; \notin\; \nsubseteq
\]
\newpage
\section{U�amki i pierwiastki. Ca�ki i sumy.}
\subsection{U�amki i pierwiastki}
\[ \frac{2}{3},\quad \frac{x^2+y}{\binom{n}{k}}
\]

\[ \cfrac{1}{\sqrt{2}+
    \cfrac{1}{\sqrt{2}+
     \cfrac{1}{\sqrt{2}+\dots
      }}}\]

\[\frac{1}{\sqrt{2}+
    \frac{1}{\sqrt{2}+
     \frac{1}{\sqrt{2}+\dots
      }}}\]

\[ \sqrt{9}=3,\quad \sqrt[3]{27}=3, \quad \sqrt[\uproot{4}\leftroot{1} {\textstyle k}] {\frac{n+k^2}{n-k^2}}
\]

\subsection{Ca�ki i sumy}
\[ \int\limits_0^\infty f(x)\,dx \qquad \int\nolimits_0^\infty f(x)\,dx
\]

\[ \iint\limits_{z=1} \frac{1+z}{1-z}\,dz \qquad \int\int_{z=1} \frac{1+z}{1-z}\,dz 
\]

\[ \int_0^\varepsilon \frac{\gamma(\theta)}{\theta^2}\,d\theta \qquad \idotsint\limits_V \mu (u_1,\dots,u_k)
\]
 
\[ \sum\limits_{n=0}^\infty x^n \qquad \sum\nolimits_{n=0}^\infty x^n
\]

\[ \sum\limits_{\substack{i\leq m \\ j\leq n}}P(i,j) \qquad f(k)=\sum\limits_{i \le k} \binom{n_i}{k}
\]
\newpage
\section{Definiowanie w�asnych operator�w}
\[ A\operatop B \qquad A\operator B 
\]

\[ \boxed{A\operatop_2 B \qquad A\operator_{n\in\mathbb{N}} B} 
 \]
 
 \[ A deg B
 \]
\section{Macierze}
\begin{displaymath}
\left[ \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{array} \right] 
\left[ \begin{array}{c}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_m
\end{array} \right]
\end{displaymath}
\begin{equation}
\left | \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{array} \right |
\end{equation}
\[
a_i = \left\{ 
\begin{array}{ll}
\textbf{a}, & \textrm{gdy \textit{a} jest formu�� atomow�}\\
1, & \textrm{je�eli } \alpha_i \textrm{ jest aksjomatem logicznym}\\
T(\alpha_i), & \textrm{je�eli } \alpha_i \textrm{ jest aksjomatem pozalogicznym}\\
r^{sem}(\alpha_{i_1},\dots,\alpha_{i_n}), & \textrm{je�eli } \alpha_i = r^{syn}(\alpha_{i_1},\dots,\alpha_{i_n}) 
\end{array}\right.
\]

\begin{gather}
\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{matrix} \qquad
\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\qquad
\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\\
\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{vmatrix}\qquad
\begin{Vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{Vmatrix}\qquad
\end{gather}

\newpage
\section{Wyr�wnywanie r�wna�}
\begin{align}
x^2 &= y-z^{\frac{1}{2}}\\
x+7y &= (t-s)^3
\end{align}

\begin{eqnarray}
x^2 &=& y-z^{\frac{1}{2}}+z^3 \\
x+7y &=& (t-s)^3 \nonumber
\end{eqnarray}

\begin{align}
 f(k)=& \sum\limits_{i \le k} \binom{n_i}{k}\\
 \intertext{Tu znajduje si� ma�y przerywnik tekstowy}
 F(x)=& \int\nolimits_0^x f(t)\,dt \label{eq;1}
\end{align}
W r�wnaniu \eqref{eq;1} na stronie \pageref{eq;1} \dots\\
\newpage
\section{Twierdzenia i definicje}

Poni�ej prezentujemy przyk�ady u�ycia otoczenia ,,{\ttfamily twierdzenie}''. 

\begin{thm}[Littlewood's subordination Principle]
Przypu��my, �e $\varphi$ jest holomorficznym odwzorowaniem dysku jednostkowego $U$ w siebie, takim, �e zachodzi warunek: $\varphi(0)=0$. Wtedy dla ka�dej funkcji~$f\in H^2$,
\[ C_\varphi f \in H^2\quad \text{oraz} \quad \Vert C_\varphi f\Vert \leq \Vert f\Vert .\]
\end{thm}

\vspace{24pt}

\begin{dfn}
M�wimy, �e funkcja
\[ f(z)= \sum\limits_{n=0}^\infty \hat{f}(n) z^n \in H(U)\tag{1}
\]
nale�y do przestrzeni \emph{Hardy'ego} $H^2$ je�eli szereg wsp�czynnik�w Taylora funkcji $f$ jest zbie�ny z kwadratem, tj. $\sum\nolimits_{n=0}^\infty \vert \hat{f}(n)\vert ^2<\infty.$
\end{dfn}

\vspace{24pt}

\begin{wns}
Dla wszystkich $p\in U$ operator $C_{\alpha_p}$ jest ograniczony na $H^2$. Co wi�cej,
\[ \Vert C_{\alpha_p} \Vert \leq \biggl(\frac{1+\vert p\vert}{1-\vert p\vert}\biggl)^{\frac{1}{2}}.
\]
\end{wns}
\begin{proof}
Szacunek dla czytelnika nie pozwala nam udowadnia� takich banalnych fakt�w.
\end{proof}

\vspace{24pt}

\begin{fct}
Je�eli $\Vert \varphi \Vert_\infty <1$ wtedy $C_\varphi$ jest zwartym operatorem okre�lonym na przestrzeni $H^2$.
\end{fct}

\end{document}
Opracowa� Pawe� Mleczko, d118952@wmid.amu.edu.pl