Metody numeryczne 1 (MEN331) - Ćwiczenia 6

Kalendarium, Zasady, Ćw1, Ćw2, Ćw3, Ćw4, Ćw5, Ćw6, Ćw7, Ćw8, Ćw9, Ćw10, Ćw11, Ćw12, Ćw13
Prowadzący: Rafał Witkowski
Temat: Interpolacje wielomianowe węzłów równoodległych, interpolacje funkcjami sklejanymi

Interpolacja dla węzłów równoodległych


Często węzły interpolacyje są równo odległe tzn. oddalone od siebie o tą samą wartość (x(i+1) - x(i) = h)  
h nazywamy krokiem (odległość 2-ch sąsiednich węzłów)
Wzór Lagrange'a przyjmuje wtedy postać:


Aby określić postać Newtona tego wielomianu Lagrange'a zdefiniujmy wpierw różnicę progresywną rzędu k funkcji f :



Dla węzłów równoodległych uzyskujemy następującą zależność:



Prawdziwe są także następujące wzory:



A zatem postać Newtona wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a dla węzłów równoodległych jest równa:


Zadanie 1

Wyznacz wielomian interpolacyjny Lagrange'a przy węzłach równoodległych, wiedząc, że:
a) f(1) = 2, f(2) = 2, f(3) = 1, f(4) = 5
b) f(-1) = 3, f(1) = 2, f(3) = 4, f(5) = 2

Interpolacja funkcjami sklejanymi (splajnami)

Znając wartości funkcji w kilku punktach możemy ją także interpolować przy pomocy naturalnych funkcji sklejanych S(x). Każdą taką funkcję określoną na punktach  da się jednoznacznie wyznaczyć z wzorów:

Podstawiając wszystkie dane otrzymamy m+n równań liniowych z m+n niewiadomymi, które po rozwiązaniu da nam wszystkie potrzebne wpółczynniki, które właśnie jednoznacznie wyznaczają wielomian S(x).

Zadanie 2

Wyznacz wielomian interpolacyjny przy pomocy funkcji sklejanych wiedząc, że:
a) f(1) = 2, f(2) = 2, f(3) = 1, f(4) = 5
b) f(0) = 3, f(1) = 2, f(3) = 4, f(5) = 2
Wyznacz wartości tych wielomianów w punkcie f(2,5)

Zadanie 3 (zadanie domowe)

Nauczyć się porządnie na kolokwium.